On the occasion of: nhân (dịp) + occasion

Nhân dịp before an occasion means "on the occasion of" or "for": Nhân dịp năm mới …, for the New Year … It goes at the start, and the rest says what you do because of the occasion: a wish, a gift, a visit. That's what sets it apart from vào and lúc, which only say when. Công ty nghỉ vào thứ hai gives a date; Nhân dịp Tết, công ty tặng quà says the gifts are for Tết.

You'll see it in greeting cards, Tết messages and company notices: Nhân dịp năm mới, chúc anh chị sức khỏe. Wishing you good health in the New Year. It works in speech too, for a chance you made use of: Nhân dịp về Sài Gòn, em ghé thăm cô. Since I was back in Saigon, I dropped in on my teacher.

Nhân alone does the same job, a little more formally, and it often opens a news report: nhân ngày Nhà giáo Việt Nam (on Vietnamese Teachers' Day).

Nhân tiện means "while I'm at it" or "by the way", in speech and in writing: Nhân tiện, cho em hỏi chút nha. By the way, can I ask you something? Among friends, Mà at the start does the same: Mà nè, …